Resolucion de problemas geometricos mediante el theorema de Tales

Existen dos teoremas en relación a la geometria clasica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente (“los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos”). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (“encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa”), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

Los dos teoremas de Tales

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente (“los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos”). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (“encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa”), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometria particularmente enfocado a los triangulos rectangulos, las circunferencias y los angulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cociclicos y de la aplicación de los angulos inscritos dentro de una circunferencia.

Aqui hay algunos videos que aportan mas el tema de los teoremas.

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